8. В многоквартирном доме 294 квартир. Известно, что во всех подъездах дома одинаковое число этажей и на любом этаже каждого подъезда одинаковое число квартир (больше одной). Сколько этажей в этом доме, если число квартир на каждом этаже в подъезде в два раза меньше числа этажей в этом доме? Ответ:

1. Разложим число 294 на простые множители: \[294 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2\]
2. Пусть \(x\) - число этажей, \(y\) - число квартир на этаже. Тогда число квартир на этаже в два раза меньше числа этажей: \(y = \frac{x}{2}\)
3. Общее число квартир: \(N = x \cdot y \cdot z\), где \(z\) - число подъездов. Учитывая, что \(y = \frac{x}{2}\), получим: \[294 = x \cdot \frac{x}{2} \cdot z\] \[588 = x^2 \cdot z\]
4. Разложим 588 на простые множители: \(588 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2\). Значит, \(x^2\) должно быть полным квадратом. Возможные варианты:
   • Если \(x^2 = 4\), то \(x = 2\). Тогда \(z = 147\).
   • Если \(x^2 = 49\), то \(x = 7\). Тогда \(z = 12\).
   • Если \(x^2 = 196\), то \(x = 14\). Тогда \(z = 3\).
5. По условию, число квартир на этаже больше одной, значит \(y = \frac{x}{2} > 1\), то есть \(x > 2\).
6. Таким образом, возможные значения \(x\): 7 и 14.
7. Если число этажей 7, то квартир на этаже \(\frac{7}{2} = 3.5\) - не подходит, так как должно быть целым числом. Если число этажей 14, то квартир на этаже \(\frac{14}{2} = 7\). Подъездов 3.

Ответ: 14