В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AD₁ и B₁D₁. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть сторона куба равна \( a \). Введём систему координат:

• \( A = (0; 0; 0) \)
• \( D = (a; 0; 0) \)
• \( D_1 = (a; 0; a) \)
• \( A_1 = (0; 0; a) \)
• \( B_1 = (0; a; a) \)

Векторы прямых:

• \( \vec{AD_1} = (a; 0; a) \)
• \( \vec{B_1D_1} = (a-0; 0-a; a-a) = (a; -a; 0) \)

Найдем косинус угла между векторами:

• \( \cos \alpha = \frac{\vec{AD_1} \cdot \vec{B_1D_1}}{|\vec{AD_1}| \cdot |\vec{B_1D_1}|} \)
• \( \vec{AD_1} \cdot \vec{B_1D_1} = a \cdot a + 0 \cdot (-a) + a \cdot 0 = a^2 \)
• \( |\vec{AD_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \)
• \( |\vec{B_1D_1}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \)
• \( \cos \alpha = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} \)
• \( \alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ} \)

Ответ: 60