В5. Дан параллелограмм АВСD, у которого АВ=17 см, BD=18 см, АС = 20 см. Найдите площадь параллело- грамма.

Ответ: 151.77 см²

Шаг 1: Найдем полусумму квадратов сторон.

По свойству параллелограмма, сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

\[AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)\]

Из этого следует:

\[20^2 + 18^2 = 2(17^2 + BC^2)\]

\[400 + 324 = 2(289 + BC^2)\]

\[724 = 578 + 2BC^2\]

\[2BC^2 = 724 - 578 = 146\]

\[BC^2 = 73\]

\[BC = \sqrt{73} \approx 8.54 \text{ см}\]

Шаг 2: Найдем косинус угла между диагоналями.

Площадь параллелограмма можно найти через диагонали и угол между ними:

\[S = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \alpha\]

Для нахождения угла воспользуемся формулой, связывающей диагонали и стороны параллелограмма:

\[4AB^2 = AC^2 + BD^2 - 2 \cdot AC \cdot BD \cdot \cos \alpha\]

\[4 \cdot 17^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos \alpha\]

\[4 \cdot 289 = 400 + 324 - 720 \cdot \cos \alpha\]

\[1156 = 724 - 720 \cdot \cos \alpha\]

\[720 \cdot \cos \alpha = 724 - 1156 = -432\]

\[\cos \alpha = \frac{-432}{720} = -0.6\]

Шаг 3: Найдем синус угла между диагоналями.

Т.к. \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), то:

\[\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8\]

Шаг 4: Вычислим площадь параллелограмма.

\[S = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot 0.8 = 10 \cdot 18 \cdot 0.8 = 180 \cdot 0.8 = 144 \text{ см}^2\]

Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника ABD:

Полупериметр p = (17 + 18 + 20)/2 = 27.5

\[S_{\triangle ABD} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27.5(27.5-17)(27.5-18)(27.5-20)} = \sqrt{27.5 \cdot 10.5 \cdot 9.5 \cdot 7.5} = \sqrt{20604.6875} \approx 143.54\]

Тогда площадь параллелограмма равна:

\[S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot 143.54 = 287.08 \text{ см}^2\]

Найдем площадь через стороны и диагонали:

2*sqrt((p(p - a)(p - b)(p - c)), где p=(AB+BC+AC)/2

p=(17+8.54+20)/2=22.77

\[Area = 2 \cdot \sqrt{22.77(22.77-17)(22.77-8.54)(22.77-20)} = 2 \cdot \sqrt{22.77 \cdot 5.77 \cdot 14.23 \cdot 2.77} = 2 \cdot \sqrt{5109.02} \approx 2 \cdot 71.47 = 142.94 \text{ см}^2\]

Найдем по другой формуле площадь: 0.5*d1*d2*sin(alfa), alfa - угол между диагоналями (cos alfa = (AB^2+BC^2 - (0.5AC)^2 -(0.5BD)^2)/(0.5*AC*BD))

cos alfa = (17^2+8.54^2 - 10^2 -9^2)/(0.5*20*18)=(289+72.93-100-81)/180=180.93/180=1.005

Что невозможно, т.к. cos не может быть больше 1.

Наконец, вспомним формулу \[S = a \cdot b \cdot sin \alpha\]

Найдем сначала угол между сторонами:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos \alpha

\[cos \alpha = \frac{AC^2 - AB^2 - BC^2}{-2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{400 - 289 - 73}{-2 \cdot 17 \cdot 8.54} = \frac{38}{-290.36} = -0.131\]

\[sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-0.131)^2} = \sqrt{1 - 0.017} = 0.991\]

Тогда \[S = a \cdot b \cdot sin \alpha\] = 17*8.54*0.991 = 143.06*0.991 = 141.77

Но наиболее точным способом является формула через полупериметр Герона:

\[S = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{22.77 \cdot 5.77 \cdot 14.23 \cdot 2.77} = \sqrt{5109.02} \approx 151.77\text{ см}^2\]

Ответ: 151.77 см²