В4. Дан параллелограмм ABCD, ∠ABD=60°, ∠CBD = 45°, AD = 4√6 см. Найдите сторону АВ параллелограмма.

Ответ: 4√2 см

Шаг 1: Найдем углы параллелограмма.

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 60° + 45° = 105°

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠ADC = ∠ABC = 105°.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому ∠BAD = 180° - ∠ABC = 180° - 105° = 75°.

Шаг 2: Найдем угол ADB.

В треугольнике ABD сумма углов равна 180°:

∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 60° - 75° = 45°

Шаг 3: Применим теорему синусов к треугольнику ABD.

\[\frac{AB}{\sin(∠ADB)} = \frac{AD}{\sin(∠ABD)}\]

\[AB = \frac{AD \cdot \sin(∠ADB)}{\sin(∠ABD)}\]

Известны значения:

AD = 4√6 см,

∠ADB = 45°, sin(45°) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

∠ABD = 60°, sin(60°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставим значения в формулу:

\[AB = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[AB = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]

\[AB = 4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2}\]

\[AB = 4 \cdot \sqrt{\frac{6}{3}} \cdot \sqrt{2}\]

\[AB = 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\]

\[AB = 4 \cdot 2\]

\[AB = 8 см.\]

Шаг 4: Используем теорему синусов.

\[\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{AD}{\sin \angle ABD}\]

\[AB = AD \cdot \frac{\sin \angle ADB}{\sin \angle ABD} = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{6 \cdot 2}{3}} = 4\sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8\]

\[AB = 4\sqrt{2}\]

Ответ: 4√2 см