Уравнение теплового баланса. Высокий уровень

ЗАДАНИЕ №1

После опускания в воду, имеющую температуру 10 °С, тела, нагретого до 100 °С, через некоторое время установилась общая температура 40 °С. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в неё опустить ещё одно такое же тело, нагретое до 100 °С?

1. Обозначим массу воды за $$m_в$$, а массу тела за $$m_т$$. Теплоемкость воды $$c_в = 4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}cdot \text{°C}}$$.
2. Запишем уравнение теплового баланса для первого случая: $$c_в m_в (40 - 10) = c_т m_т (100 - 40)$$ $$30 c_в m_в = 60 c_т m_т$$ $$c_в m_в = 2 c_т m_т$$
3. Теперь рассмотрим второй случай. Пусть конечная температура станет $$T$$. Уравнение теплового баланса для второго случая: $$c_в m_в (T - 10) = c_т m_т (100 - T) + c_т m_т (100 - T)$$ $$c_в m_в (T - 10) = 2 c_т m_т (100 - T)$$
4. Подставим выражение для $$c_в m_в$$ из первого уравнения: $$2 c_т m_т (T - 10) = 2 c_т m_т (100 - T)$$ $$T - 10 = 100 - T$$ $$2T = 110$$ $$T = 55$$

Ответ: 55 °C

ЗАДАНИЕ №2

Смешиваются равные по массе вода при температуре +50 °С и лёд при температуре -40 °С. Какова будет окончательная температура смеси?

1. Обозначим массу воды и льда за $$m$$. Теплоемкость воды $$c_в = 4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}cdot \text{°C}}$$, теплоемкость льда $$c_л = 2100\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}cdot \text{°C}}$$. Удельная теплота плавления льда $$\lambda = 3.3 \cdot 10^5\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$$.
2. Сначала посмотрим, сколько тепла нужно для нагрева льда от -40 °C до 0 °C: $$Q_1 = c_л m (0 - (-40)) = 40 c_л m = 40 cdot 2100 m = 84000 m$$
3. Теперь посмотрим, сколько тепла выделится при охлаждении воды от +50 °C до 0 °C: $$Q_2 = c_в m (50 - 0) = 50 c_в m = 50 cdot 4200 m = 210000 m$$
4. Так как $$Q_2 > Q_1$$, то льду хватит тепла, чтобы нагреться до 0 °C. Теперь посмотрим, хватит ли тепла, чтобы весь лед растаял: $$Q_3 = \lambda m = 3.3 cdot 10^5 m = 330000 m$$ Т.к. $$Q_2 - Q_1 = 210000 m - 84000 m = 126000 m < Q_3$$, то растает не весь лед, и конечная температура будет 0 °C.

Ответ: 0 °C

ЗАДАНИЕ №3

В сосуде, теплоёмкость которого 0.63 кДж/град, находится 0.5 л воды и 250 г льда при О °С. Какая установится температура после впуска в воду 90 г водяного пара при температуре 100 °С? Ответ округлите до целого.

1. Обозначим теплоемкость сосуда за $$C = 630\ \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}$$, массу воды $$m_в = 0.5\ \text{кг}$$, массу льда $$m_л = 0.25\ \text{кг}$$, массу пара $$m_п = 0.09\ \text{кг}$$. Теплоемкость воды $$c_в = 4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}cdot \text{°C}}$$, удельная теплота плавления льда $$\lambda = 3.3 \cdot 10^5\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$$, удельная теплота парообразования воды $$L = 2.26 \cdot 10^6\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$$.
2. Сначала посмотрим, сколько тепла выделится при конденсации пара и охлаждении его до 0 °C: $$Q_1 = L m_п + c_в m_п (100 - 0) = 2.26 \cdot 10^6 \cdot 0.09 + 4200 \cdot 0.09 \cdot 100 = 203400 + 37800 = 241200\ \text{Дж}$$
3. Теперь посмотрим, сколько тепла нужно для плавления льда: $$Q_2 = \lambda m_л = 3.3 \cdot 10^5 \cdot 0.25 = 82500\ \text{Дж}$$
4. После конденсации пара и плавления льда вся система будет иметь температуру 0 °C. Рассмотрим тепло, необходимое для нагревания всей воды и сосуда до температуры $$T$$: $$Q_3 = (m_в + m_п) c_в T + C T = (0.5 + 0.09) \cdot 4200 T + 630 T = 2478 T + 630 T = 3108 T$$
5. Приравняем тепло от конденсации пара к теплу нагревания воды и сосуда: $$241200 - 82500 = 158700 = 3108 T$$ $$T = \frac{158700}{3108} \approx 51.06\ \text{°C}$$
6. Округлим до целого: $$T \approx 51\ \text{°C}$$

Ответ: 51 °C