Уравнение 0,3⁻²ˣ = 3⁻¹/₃ имеет корень из промежутка

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\[ \left(\frac{3}{10}\right)^{-2x} = 3^{-\frac{1}{3}} \]

\[ \left(\frac{10}{3}\right)^{2x} = 3^{-\frac{1}{3}} \]

\[ \frac{10^{2x}}{3^{2x}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{3}}} \]

Это уравнение сложно решить аналитически без логарифмов. Попробуем оценить значение корня.

Если \( x = -1 \), то \( 0.3^{2} = 0.09 \). \( 3^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{3} \approx 1/1.44 = 0.69 \). \( 0.09
e 0.69 \).

Если \( x = -0.5 \), то \( 0.3^{-2(-0.5)} = 0.3^1 = 0.3 \). \( 0.3
e 0.69 \).

Если \( x = -2 \), то \( 0.3^{-2(-2)} = 0.3^4 = 0.0081 \).

Если \( x=0 \), то \( 0.3^0 = 1 \).

Значение \( 3^{-1/3} \) между 0.3 и 1. Значит, \( -2x \) должно быть между 0 и 1. То есть \( -1 < -2x < 0 \). Отсюда \( 0 < 2x < 1 \), то есть \( 0 < x < 0.5 \).

Проверим промежутки:

• 1) (-∞;-2]: Не подходит.
• 2) (-2;-1]: Не подходит.
• 3) [1;+∞): Не подходит.
• 4) (-1;0]: Если \( x = -1 \), \( 0.3^2 = 0.09 \). \( 3^{-1/3} \approx 0.69 \). Не подходит.
• 5) (0;1): Если \( x = 0.5 \), \( 0.3^1 = 0.3 \). Если \( x=0 \), \( 0.3^0=1 \). Значение \( 3^{-1/3} \approx 0.69 \). Это значение находится между 0.3 и 1. Таким образом, корень находится в промежутке (0;1).

Ответ: (0;1)