Упростите выражение: e) $$\frac{1}{x+3} - \frac{10x+3}{x^3+27} + \frac{x+4}{x^2-3x+9}$$

e) Для упрощения выражения $$\frac{1}{x+3} - \frac{10x+3}{x^3+27} + \frac{x+4}{x^2-3x+9}$$, необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Разложим знаменатель второй дроби, используя формулу суммы кубов: $$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$$.

Теперь выражение можно записать так: $$\frac{1}{x+3} - \frac{10x+3}{(x+3)(x^2-3x+9)} + \frac{x+4}{x^2-3x+9}$$.

Общий знаменатель: $$(x+3)(x^2-3x+9)$$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{10x+3}{(x+3)(x^2-3x+9)} + \frac{(x+4)(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$$

Объединим числители под общим знаменателем:

$$\frac{x^2-3x+9 - (10x+3) + (x+4)(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{x^2-3x+9 - 10x - 3 + x^2 + 3x + 4x + 12}{(x+3)(x^2-3x+9)}$$

Упростим числитель:

$$\frac{2x^2 - 6x + 18}{(x+3)(x^2-3x+9)}$$

Вынесем 2 за скобки в числителе:

$$\frac{2(x^2 - 3x + 9)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$$

Сократим дробь на $$(x^2 - 3x + 9)$$, если $$x^2-3x+9
eq 0$$:

$$\frac{2}{x+3}$$

Ответ: $$\frac{2}{x+3}$$