Упростите выражение: (x+3)/(x-3) - x/(x+3) * (x+1)/(x+3)

Решение:

Чтобы упростить выражение, приведем его к общему знаменателю.

Сначала выполним умножение дробей:

\[ \frac{x}{x+3} \cdot \frac{x+1}{x+3} = \frac{x(x+1)}{(x+3)^2} \]

Теперь вычтем полученную дробь из первой:

\[ \frac{x+3}{x-3} - \frac{x(x+1)}{(x+3)^2} \]

Общий знаменатель будет \( (x-3)(x+3)^2 \).

\[ \frac{(x+3)(x+3)^2}{(x-3)(x+3)^2} - \frac{x(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{(x+3)^3 - x(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+3)^2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ (x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \]

Раскроем скобки во второй части числителя:

\[ x(x+1)(x-3) = (x^2+x)(x-3) = x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x = x^3 - 2x^2 - 3x \]

Теперь вычтем вторую часть из первой:

\[ (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 2x^2 - 3x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 2x^2 + 3x = 11x^2 + 30x + 27 \]

Знаменатель:

\[ (x-3)(x+3)^2 = (x-3)(x^2+6x+9) = x^3 + 6x^2 + 9x - 3x^2 - 18x - 27 = x^3 + 3x^2 - 9x - 27 \]

Итоговое выражение:

\[ \frac{11x^2 + 30x + 27}{x^3 + 3x^2 - 9x - 27} \]

Ответ: \( \frac{11x^2 + 30x + 27}{x^3 + 3x^2 - 9x - 27} \).