Решите уравнение: а) x³ - 3x² - x + 3 = 0, б) (x - 1) (x² + 8x + 16) = 6(x + 4)

Решение:

а) \( x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 \)

Метод группировки:

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

\( (x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0 \)

Вынесем общие множители из каждой группы:

\( x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x - 3) \):

\( (x - 3)(x^2 - 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\( x - 3 = 0 \) или \( x^2 - 1 = 0 \)

Из первого уравнения: \( x = 3 \).

Из второго уравнения: \( x^2 = 1 \), следовательно, \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

б) \( (x - 1) (x^2 + 8x + 16) = 6(x + 4) \)

Заметим, что \( x^2 + 8x + 16 \) является полным квадратом:

\( x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \)

Подставим это в уравнение:

\( (x - 1)(x + 4)^2 = 6(x + 4) \)

Перенесем все члены в левую часть:

\( (x - 1)(x + 4)^2 - 6(x + 4) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x + 4) \):

\( (x + 4)[(x - 1)(x + 4) - 6] = 0 \)

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

\( (x - 1)(x + 4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4 \)

Теперь подставим обратно:

\( (x + 4)[(x^2 + 3x - 4) - 6] = 0 \)

\( (x + 4)(x^2 + 3x - 10) = 0 \)

Теперь у нас два множителя, произведение которых равно нулю:

\( x + 4 = 0 \) или \( x^2 + 3x - 10 = 0 \)

Из первого уравнения: \( x = -4 \).

Решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]

Найдем корни \( x \):

\[ x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]

\[ x_3 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_4 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Ответ: а) \( x = 3, x = 1, x = -1 \); б) \( x = -4, x = 2, x = -5 \).