Упростите выражение: Вариант 4. 1. a) $$\sqrt[6]{a^3\sqrt{a^{-1}}} \cdot \sqrt[9]{a^2}$$; б) $$\frac{8-c}{2-\sqrt[3]{c}} + 2\sqrt[3]{c}$$.

a) Сначала преобразуем выражение под корнем: $$\sqrt[6]{a^3\sqrt{a^{-1}}} \cdot \sqrt[9]{a^2} = \sqrt[6]{a^3 \cdot a^{-\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{2}{9}} = \sqrt[6]{a^{3-\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{2}{9}} = \sqrt[6]{a^{\frac{5}{2}}} \cdot a^{\frac{2}{9}} = (a^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{2}{9}} = a^{\frac{5}{12}} \cdot a^{\frac{2}{9}}$$ Теперь сложим показатели степеней: $$a^{\frac{5}{12} + \frac{2}{9}} = a^{\frac{15+8}{36}} = a^{\frac{23}{36}}$$ б) Упростим второе выражение: $$\frac{8-c}{2-\sqrt[3]{c}} + 2\sqrt[3]{c} = \frac{2^3 - (\sqrt[3]{c})^3}{2-\sqrt[3]{c}} + 2\sqrt[3]{c}$$ Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$. Тогда: $$\frac{(2-\sqrt[3]{c})(4 + 2\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2})}{2-\sqrt[3]{c}} + 2\sqrt[3]{c} = 4 + 2\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2} + 2\sqrt[3]{c} = 4 + 4\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2}$$ Ответ: a) $$a^{\frac{23}{36}}$$; б) $$4 + 4\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2}$$