Упростите выражение: \(\frac{x}{x+y} - \frac{xy-2}{x^2+2xy+y^2}\) : \(\frac{x^2+2}{y^2-x^2}\).

Решение:

1. Приведём первую дробь к общему знаменателю \( (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \):
2. \( \frac{x}{x+y} - \frac{xy-2}{(x+y)^2} = \frac{x(x+y) - (xy-2)}{(x+y)^2} = \frac{x^2+xy-xy+2}{(x+y)^2} = \frac{x^2+2}{(x+y)^2} \).
3. Преобразуем вторую дробь: \( \frac{x^2+2}{y^2-x^2} = \frac{x^2+2}{(y-x)(y+x)} \).
4. Заменим деление умножением и перевернём вторую дробь:
5. \( \frac{x^2+2}{(x+y)^2} : \frac{x^2+2}{(y-x)(y+x)} = \frac{x^2+2}{(x+y)^2} \cdot \frac{(y-x)(y+x)}{x^2+2} \).
6. Сократим дробь: \( \frac{1}{(x+y)^2} \cdot \frac{(y-x)(y+x)}{1} = \frac{y-x}{(x+y)^2} \cdot (y+x) = \frac{y-x}{x+y} \).

Ответ: \( \frac{y-x}{x+y} \).