Решение

Для упрощения выражения $$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{12} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{12} + 1}$$ приведем дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель: $$\left(\sqrt{5} + \sqrt{12} - 1\right) \left(\sqrt{5} + \sqrt{12} + 1\right)$$

Преобразуем числитель:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{12} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{12} + 1} = \frac{\left(\sqrt{5} + \sqrt{12} + 1\right) - \left(\sqrt{5} + \sqrt{12} - 1\right)}{\left(\sqrt{5} + \sqrt{12} - 1\right) \left(\sqrt{5} + \sqrt{12} + 1\right)} \\ & = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{12} + 1 - \sqrt{5} - \sqrt{12} + 1}{\left(\sqrt{5} + \sqrt{12}\right)^2 - 1^2} = \frac{2}{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{12} + (\sqrt{12})^2 - 1}\\ & = \frac{2}{5 + 2\sqrt{60} + 12 - 1} = \frac{2}{16 + 2\sqrt{4 \cdot 15}} = \frac{2}{16 + 4\sqrt{15}} = \frac{2}{4(4 + \sqrt{15})}\\ & = \frac{1}{2(4 + \sqrt{15})} = \frac{1}{2(4 + \sqrt{15})} \cdot \frac{4 - \sqrt{15}}{4 - \sqrt{15}} = \frac{4 - \sqrt{15}}{2(16 - 15)} = \frac{4 - \sqrt{15}}{2} \end{aligned}$$

Ответ: $$\frac{4 - \sqrt{15}}{2}$$