Упрощение выражения

Для упрощения выражения $$\frac{2x}{8-18x} + \frac{3}{81x^2-16}$$, выполним следующие шаги:

1. Разложение знаменателя второй дроби:

Заметим, что знаменатель второй дроби представляет собой разность квадратов: $$81x^2 - 16 = (9x)^2 - 4^2 = (9x - 4)(9x + 4)$$.

2. Вынесение минуса из знаменателя первой дроби:

Вынесем минус из знаменателя первой дроби, чтобы изменить порядок членов и упростить дальнейшие преобразования: $$8 - 18x = - (18x - 8) = -2(9x - 4)$$.

Теперь первая дробь выглядит так: $$\frac{2x}{-2(9x - 4)} = -\frac{x}{9x - 4}$$.

3. Приведение к общему знаменателю:

Общий знаменатель для двух дробей: $$(9x - 4)(9x + 4)$$. Тогда необходимо первую дробь домножить на $$(9x + 4)$$, а вторую оставить без изменений:

$$- \frac{x(9x + 4)}{(9x - 4)(9x + 4)} + \frac{3}{(9x - 4)(9x + 4)}$$.

4. Объединение дробей:

Теперь объединяем дроби под одним знаменателем:

$$\frac{-x(9x + 4) + 3}{(9x - 4)(9x + 4)} = \frac{-9x^2 - 4x + 3}{(9x - 4)(9x + 4)}$$.

5. Проверка возможности упрощения числителя:

Попробуем разложить числитель, чтобы понять, можно ли сократить дробь. Числитель: $$-9x^2 - 4x + 3$$. Дискриминант равен $$D = (-4)^2 - 4(-9)(3) = 16 + 108 = 124$$, что не является полным квадратом, поэтому корни не будут рациональными. Следовательно, упростить числитель не получится.

6. Финальная запись выражения:

Окончательное выражение:

$$\frac{-9x^2 - 4x + 3}{81x^2 - 16}$$.

Ответ: $$\frac{-9x^2 - 4x + 3}{81x^2 - 16}$$