Упростите выражение: $$\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}\right):\left(1+\frac{1}{b^2-2b}\right)\cdot \frac{b^2+2b+1}{1+\frac{1}{b}}$$

Начнём с упрощения выражения в первой скобке: $$\begin{aligned}b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b} &= \frac{b^2(b-2)+3b(b-2)-(b^3-9)+4(b-2)}{b(b-2)} \\&= \frac{b^3-2b^2+3b^2-6b-b^3+9+4b-8}{b(b-2)} \\&= \frac{b^2-2b+1}{b(b-2)} \\&= \frac{(b-1)^2}{b(b-2)}\end{aligned}$$ Теперь упростим выражение во второй скобке: $$1+\frac{1}{b^2-2b} = \frac{b^2-2b+1}{b^2-2b} = \frac{(b-1)^2}{b(b-2)}$$ И, наконец, упростим выражение в третьей дроби: $$\frac{b^2+2b+1}{1+\frac{1}{b}} = \frac{(b+1)^2}{\frac{b+1}{b}} = \frac{(b+1)^2b}{b+1} = (b+1)b$$ Теперь перепишем исходное выражение с учетом упрощений: $$\left(\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}\right):\left(\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}\right)\cdot (b+1)b$$ Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь: $$\frac{(b-1)^2}{b(b-2)} \cdot \frac{b(b-2)}{(b-1)^2} \cdot (b+1)b$$ Сокращаем дроби: $$1 \cdot (b+1)b = b(b+1) = b^2 + b$$ <strong>Ответ: $$b^2 + b$$</strong>