Упростите выражение: $$\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}\right):\left(1+\frac{1}{b^2-2b}\right)\cdot\frac{b^2+2b+1}{1+\frac{1}{b}}$$

Для упрощения выражения выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первой скобке:

$$\begin{aligned} b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b} &= \frac{b^2(b-2)+3b(b-2)-(b^3-9)+4(b-2)}{b(b-2)} \\ &= \frac{b^3-2b^2+3b^2-6b-b^3+9+4b-8}{b(b-2)} \\ &= \frac{b^2-2b+1}{b(b-2)} \\ &= \frac{(b-1)^2}{b(b-2)} \end{aligned}$$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$$\begin{aligned} 1+\frac{1}{b^2-2b} &= \frac{b^2-2b+1}{b^2-2b} \\ &= \frac{(b-1)^2}{b(b-2)} \end{aligned}$$

3. Упростим выражение в третьей дроби:

$$\begin{aligned} \frac{b^2+2b+1}{1+\frac{1}{b}} &= \frac{(b+1)^2}{\frac{b+1}{b}} \\ &= \frac{(b+1)^2 \cdot b}{b+1} \\ &= (b+1)b \end{aligned}$$

4. Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:

$$\frac{(b-1)^2}{b(b-2)} : \frac{(b-1)^2}{b(b-2)} \cdot (b+1)b$$

5. Выполним деление:

$$\frac{(b-1)^2}{b(b-2)} : \frac{(b-1)^2}{b(b-2)} = \frac{(b-1)^2}{b(b-2)} \cdot \frac{b(b-2)}{(b-1)^2} = 1$$

6. Выполним умножение:

$$1 \cdot (b+1)b = b(b+1) = b^2+b$$

Ответ:

$$ b^2 + b $$