Упростите выражение: $$\left( \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{4-x^2} \right) : \frac{x+7}{x-2}$$

Для упрощения данного выражения, выполним следующие шаги:

1. Преобразуем знаменатель третьей дроби: $$4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)$$.
2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $$(x+2)(x-2)$$.
3. Перепишем выражение с учетом преобразований: $$\left( \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{1(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{12}{(x-2)(x+2)} \right) : \frac{x+7}{x-2}$$.
4. Сложим дроби в скобках: $$\frac{3(x-2) - (x+2) + 12}{(x+2)(x-2)} : \frac{x+7}{x-2}$$.
5. Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{3x - 6 - x - 2 + 12}{(x+2)(x-2)} : \frac{x+7}{x-2}$$.
6. Приведем подобные члены в числителе: $$\frac{2x + 4}{(x+2)(x-2)} : \frac{x+7}{x-2}$$.
7. Вынесем общий множитель 2 из числителя: $$\frac{2(x + 2)}{(x+2)(x-2)} : \frac{x+7}{x-2}$$.
8. Сократим дробь на $$(x+2)$$: $$\frac{2}{x-2} : \frac{x+7}{x-2}$$.
9. Заменим деление умножением на обратную дробь: $$\frac{2}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x+7}$$.
10. Сократим дробь на $$(x-2)$$: $$\frac{2}{x+7}$$.

Таким образом, упрощенное выражение равно:

$$\frac{2}{x+7}$$