Упростите рациональное выражение: a) $$\left(\frac{t-3}{t+3} - \frac{t+3}{t-3}\right) \cdot \frac{t^2-9}{12t^2}$$ b) $$\left(\frac{k}{2} - \frac{k}{6}\right) : \frac{k^3}{18}$$

a)

Упростим выражение $$\left(\frac{t-3}{t+3} - \frac{t+3}{t-3}\right) \cdot \frac{t^2-9}{12t^2}$$

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$\frac{t-3}{t+3} - \frac{t+3}{t-3} = \frac{(t-3)^2 - (t+3)^2}{(t+3)(t-3)} = \frac{t^2 - 6t + 9 - (t^2 + 6t + 9)}{t^2 - 9} = \frac{-12t}{t^2 - 9}$$
2. Выполним умножение: $$\frac{-12t}{t^2 - 9} \cdot \frac{t^2-9}{12t^2} = \frac{-12t(t^2-9)}{12t^2(t^2 - 9)}$$
3. Сократим выражение: $$\frac{-12t(t^2-9)}{12t^2(t^2 - 9)} = \frac{-1}{t}$$

Ответ: $$\frac{-1}{t}$$

б)

Упростим выражение $$\left(\frac{k}{2} - \frac{k}{6}\right) : \frac{k^3}{18}$$

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$\frac{k}{2} - \frac{k}{6} = \frac{3k}{6} - \frac{k}{6} = \frac{2k}{6} = \frac{k}{3}$$
2. Заменим деление умножением на обратную дробь: $$\frac{k}{3} : \frac{k^3}{18} = \frac{k}{3} \cdot \frac{18}{k^3}$$
3. Сократим выражение: $$\frac{k}{3} \cdot \frac{18}{k^3} = \frac{18k}{3k^3} = \frac{6}{k^2}$$

Ответ: $$\frac{6}{k^2}$$