Упрощение выражения

Для упрощения выражения выполним действия последовательно.

Прежде всего, разложим знаменатель второй дроби в первой скобке. Заметим, что $$2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$$. Тогда:

$$m^3 + 2\sqrt{2} = m^3 + (\sqrt{2})^3 = (m + \sqrt{2})(m^2 - m\sqrt{2} + 2)$$

Теперь приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю:

$$\frac{1}{m + \sqrt{2}} - \frac{m^2 + 4}{(m + \sqrt{2})(m^2 - m\sqrt{2} + 2)} = \frac{m^2 - m\sqrt{2} + 2 - (m^2 + 4)}{(m + \sqrt{2})(m^2 - m\sqrt{2} + 2)} = \frac{- m\sqrt{2} - 2}{(m + \sqrt{2})(m^2 - m\sqrt{2} + 2)}$$

Вынесем $$-\sqrt{2}$$ в числителе:

$$\frac{-\sqrt{2}(m + \sqrt{2})}{(m + \sqrt{2})(m^2 - m\sqrt{2} + 2)} = \frac{-\sqrt{2}}{m^2 - m\sqrt{2} + 2}$$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Приведём дроби к общему знаменателю $$2m\sqrt{2}$$:

$$\frac{m}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{m} = \frac{m^2\sqrt{2} - 2m + 2\sqrt{2}}{2m\sqrt{2}}$$

Теперь перемножим упрощённые выражения из первой и второй скобок:

$$\frac{-\sqrt{2}}{m^2 - m\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{m^2\sqrt{2} - 2m + 2\sqrt{2}}{2m\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}(m^2\sqrt{2} - 2m + 2\sqrt{2})}{2m\sqrt{2}(m^2 - m\sqrt{2} + 2)} = \frac{-(2m^2 - 2m\sqrt{2} + 4)}{2m\sqrt{2}(m^2 - m\sqrt{2} + 2)} = \frac{-2(m^2 - m\sqrt{2} + 2)}{2m\sqrt{2}(m^2 - m\sqrt{2} + 2)}$$

Сократим общие множители:

$$\frac{-1}{m\sqrt{2}} = -\frac{1}{m\sqrt{2}}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{2}$$:

$$-\frac{\sqrt{2}}{2m}$$

Ответ: $$-\frac{\sqrt{2}}{2m}$$