Упростить выражение: $$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1}$$

Для упрощения выражения $$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1}$$ необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Сначала разложим знаменатель:

$$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$

Теперь разложим числитель. Для этого найдем корни квадратного уравнения $$5a^2 + 3a - 2 = 0$$:

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$$

Найдем корни:

$$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$ $$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$

Следовательно, числитель можно разложить как:

$$5a^2 + 3a - 2 = 5(a - \frac{2}{5})(a + 1) = (5a - 2)(a + 1)$$

Теперь упростим исходное выражение:

$$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1} = \frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)}$$

Сократим общие множители:

$$\frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a - 2}{a - 1}$$

Ответ: $$\frac{5a - 2}{a - 1}$$