Упростить: $$rac{2^4 cdot 25^3}{2^7 cdot 125^2}$$.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо разложить числа на простые множители и использовать свойства степеней.

1. Разложим числа на простые множители: $$25 = 5^2$$ $$125 = 5^3$$
2. Перепишем выражение с использованием простых множителей: $$rac{2^4 cdot (5^2)^3}{2^7 cdot (5^3)^2}$$
3. Применим свойство степеней $$(a^b)^c = a^{b cdot c}$$: $$rac{2^4 cdot 5^{2 cdot 3}}{2^7 cdot 5^{3 cdot 2}} = rac{2^4 cdot 5^6}{2^7 cdot 5^6}$$
4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $$5^6$$: $$rac{2^4}{2^7}$$
5. Применим свойство степеней $$rac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$$: $$2^{4-7} = 2^{-3}$$
6. Избавимся от отрицательной степени, используя свойство $$a^{-b} = rac{1}{a^b}$$: $$2^{-3} = rac{1}{2^3}$$
7. Вычислим значение $$2^3$$: $$2^3 = 2 cdot 2 cdot 2 = 8$$

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$$rac{1}{8}$$

Ответ: $$rac{1}{8}$$