Упражнение 21

1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (М₃ = 6 × 10²⁴ кг.)

Для определения скорости искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, можно использовать формулу первой космической скорости:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

где:

• $$G$$ — гравитационная постоянная ($$6.674 × 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$$),
• $$M$$ — масса Земли ($$6 × 10^{24}$$ кг),
• $$r$$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника).

В данном случае, высота орбиты над поверхностью Земли составляет 2600 км. Радиус Земли примерно равен 6371 км. Следовательно, радиус орбиты:

$$r = R_{Земли} + h = 6371 + 2600 = 8971 \text{ км} = 8971 \times 10^3 \text{ м}$$

Теперь можно вычислить скорость:

$$v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{8971 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{4.0044 \times 10^{14}}{8971 \times 10^3}} = \sqrt{4.4637 \times 10^{7}} \approx 6681.1 \text{ м/с}$$

Ответ: Скорость искусственного спутника Земли на высоте 2600 км составляет примерно 6681.1 м/с.

2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².

Для определения радиуса Луны, зная скорость спутника на орбите и ускорение свободного падения, можно использовать следующие соотношения:

• Скорость спутника на орбите: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$, где $$R$$ — радиус Луны.
• Ускорение свободного падения на поверхности Луны: $$g = \frac{GM}{R^2}$$.

Из второго уравнения можно выразить $$GM = gR^2$$. Подставив это в первое уравнение, получим:

$$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$$

Выразим радиус Луны $$R$$:

$$R = \frac{v^2}{g}$$

Подставим известные значения: $$v = 1.67 \text{ км/с} = 1670 \text{ м/с}$$ и $$g = 1.6 \text{ м/с}^2$$:

$$R = \frac{(1670)^2}{1.6} = \frac{2788900}{1.6} = 1743062.5 \text{ м} = 1743.0625 \text{ км}$$

Ответ: Радиус Луны составляет примерно 1743.0625 км.

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?

Сила всемирного тяготения определяется формулой:

$$F = G \frac{Mm}{r^2}$$

где:

• $$F$$ — сила тяготения,
• $$G$$ — гравитационная постоянная,
• $$M$$ — масса Земли,
• $$m$$ — масса тела,
• $$r$$ — расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли ($$r = R_{Земли}$$), сила тяготения равна $$F_{пов}$$. На расстоянии $$r$$ от центра Земли сила будет в 3 раза меньше:

$$\frac{F_{пов}}{3} = G \frac{Mm}{r^2}$$

Сила тяготения на поверхности Земли:

$$F_{пов} = G \frac{Mm}{R_{Земли}^2}$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{F_{пов}}{\frac{F_{пов}}{3}} = \frac{G \frac{Mm}{R_{Земли}^2}}{G \frac{Mm}{r^2}}$$ $$3 = \frac{r^2}{R_{Земли}^2}$$

Отсюда:

$$r^2 = 3R_{Земли}^2$$ $$r = R_{Земли} \sqrt{3}$$

Так как $$R_{Земли} \approx 6371 \text{ км}$$, то:

$$r = 6371 \sqrt{3} \approx 6371 \times 1.732 \approx 11034.4 \text{ км}$$

Высота над поверхностью Земли:

$$h = r - R_{Земли} = 11034.4 - 6371 \approx 4663.4 \text{ км}$$

Ответ: Сила всемирного тяготения будет в 3 раза меньше на расстоянии примерно 4663.4 км над поверхностью Земли.

4. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?

В первую секунду падения можно считать движение равноускоренным с ускорением, равным ускорению свободного падения на данной высоте.

Ускорение свободного падения на высоте $$h$$ определяется формулой:

$$g_h = g \left(\frac{R_{Земли}}{R_{Земли} + h}\right)^2$$

где:

• $$g \approx 9.81 \text{ м/с}^2$$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли,
• $$R_{Земли} \approx 6371 \text{ км}$$ — радиус Земли,
• $$h = 3200 \text{ км}$$ — высота подъема ракеты.

Подставим значения:

$$g_h = 9.81 \left(\frac{6371}{6371 + 3200}\right)^2 = 9.81 \left(\frac{6371}{9571}\right)^2 \approx 9.81 \times (0.6657)^2 \approx 9.81 \times 0.4432 \approx 4.348 \text{ м/с}^2$$

Путь, пройденный за первую секунду равноускоренного движения:

$$s = \frac{g_h t^2}{2}$$

где $$t = 1 \text{ с}$$:

$$s = \frac{4.348 \cdot 1^2}{2} = 2.174 \text{ м}$$

Ответ: Ракета пройдёт примерно 2.174 метра за первую секунду своего падения.