УПРАЖНЕНИЕ 22 1. Однородный стержень, на одном конце которого подвешен груз весом 120 Н, находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии \(\frac{1}{5}\) длины стержня от груза. Чему равен вес стержня? 2. Две девочки массами т₁ = 30 кг и т₂ = 35 кг сидят на концах доски длиной L = 6 м и массой М= 25 кг. Доска находится в равновесии. Определите положение её точки опоры. Чему равна сила реакции опоры, действующая на доску? 3. На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка дли- ной 75 см. Часть линейки свешивается со стола. К этому концу ли- нейки подвешен груз, масса которого в 2 раза больше массы линей- ки. Найдите длину свешивающейся части, если вся система находит- ся в равновесии. 4. Тонкий однородный стержень АВ шарнирно закреплён в точке А. В точке В на стержень действует горизонтальная сила F, в результате чего стержень находится в равновесии (рис. 73). Определите эту силу, если масса стержня т = 1 кг, угол его наклона к горизонту а = 45°. 5. Найдите построением положение центра тяжести однородной плас- тинки, имеющей форму, показанную на рисунке 74. Толщина пластинки везде одна и та же. 6. Две металлические пластинки — алюминиевая и медная скрепле- ны так, как показано на рисунке 75. Размеры пластинок одинаковые. Определите положение центра тяжести конструкции.

Определим предмет: физика. 1. Обозначим вес стержня как $$P$$, а длину стержня как $$L$$. Из условия задачи известно, что груз весом $$120\ \text{Н}$$ подвешен на одном конце стержня, а стержень поддерживается на расстоянии $$\frac{1}{5}L$$ от груза. Стержень находится в равновесии, то есть сумма моментов сил равна нулю. Момент силы, создаваемый грузом, равен $$120\ \text{Н} \cdot \frac{1}{5}L$$. Момент силы, создаваемый весом стержня, равен $$P \cdot \frac{1}{2}L - P \cdot \frac{1}{5}L = P \cdot \frac{3}{10}L$$. Приравниваем моменты сил: $$120\ \text{Н} \cdot \frac{1}{5}L = P \cdot \frac{3}{10}L$$. Решаем уравнение относительно $$P$$: $$P = \frac{120\ \text{Н} \cdot \frac{1}{5}}{\frac{3}{10}} = \frac{120\ \text{Н} \cdot 10}{5 \cdot 3} = \frac{1200}{15}\ \text{Н} = 80\ \text{Н}$$. Ответ: вес стержня равен $$\bf{80 \ \text{Н}}$$. 2. Обозначим массу первой девочки $$m_1 = 30\ \text{кг}$$, массу второй девочки $$m_2 = 35\ \text{кг}$$, массу доски $$M = 25\ \text{кг}$$, длину доски $$L = 6\ \text{м}$$. Сумма моментов сил относительно точки опоры должна быть равна нулю. Пусть точка опоры находится на расстоянии $$x$$ от первого края доски (где сидит первая девочка). Тогда расстояние от точки опоры до второго края доски будет $$L - x$$. Момент силы, создаваемый первой девочкой: $$m_1 g x = 30\ \text{кг} \cdot g \cdot x$$. Момент силы, создаваемый второй девочкой: $$m_2 g (L - x) = 35\ \text{кг} \cdot g \cdot (6\ \text{м} - x)$$. Момент силы, создаваемый весом доски: $$M g (\frac{L}{2} - x) = 25\ \text{кг} \cdot g \cdot (3\ \text{м} - x)$$. Составляем уравнение моментов: $$30gx + 25g(3 - x) = 35g(6 - x)$$. Упрощаем уравнение, разделив обе части на $$g$$: $$30x + 25(3 - x) = 35(6 - x)$$. Раскрываем скобки: $$30x + 75 - 25x = 210 - 35x$$. Упрощаем: $$5x + 75 = 210 - 35x$$. Переносим члены с $$x$$ в одну сторону, а числа в другую: $$40x = 135$$. Находим $$x$$: $$x = \frac{135}{40} = 3.375\ \text{м}$$. Таким образом, точка опоры находится на расстоянии $$3.375\ \text{м}$$ от первого края доски. Теперь определим силу реакции опоры. Сумма всех сил, действующих на доску, должна быть равна нулю (равновесие). Сила реакции опоры $$N$$ равна сумме весов девочек и доски: $$N = m_1 g + m_2 g + M g = (30 + 35 + 25) \cdot g = 90 \cdot 9.81\ \text{Н} = 882.9\ \text{Н}$$. Ответ: точка опоры находится на расстоянии $$\bf{3.375\ \text{м}}$$ от первого края доски, сила реакции опоры равна $$\bf{882.9\ \text{Н}}$$. 3. Обозначим длину линейки $$L = 75\ \text{см}$$. Пусть $$x$$ - длина свешивающейся части. Масса всей линейки $$m$$. Масса груза, подвешенного к концу линейки, $$2m$$. Линейка находится в равновесии, то есть момент силы тяжести свешивающейся части линейки равен моменту силы тяжести груза. Расстояние от края стола до центра тяжести свешивающейся части линейки: $$\frac{x}{2}$$. Масса свешивающейся части линейки: $$\frac{x}{L} m = \frac{x}{75} m$$. Момент силы тяжести свешивающейся части линейки: $$\frac{x}{75} m g \frac{x}{2} = \frac{x^2}{150} m g$$. Момент силы тяжести груза: $$2m g x$$. Приравниваем моменты сил: $$\frac{x^2}{150} m g = 2m g x$$. Упрощаем уравнение, разделив обе части на $$m g x$$ (предполагая, что $$x
eq 0$$): $$\frac{x}{150} = 2$$. Находим $$x$$: $$x = 2 \cdot 150 = 300\ \text{см}$$. Длина всей линейки $$75\ \text{см}$$, следовательно, такое условие невозможно. Необходимо, чтобы центр масс системы находился над опорой. Пусть $$\rho$$ - линейная плотность линейки. Тогда масса линейки равна $$L \rho$$, а масса груза $$2L \rho$$. Пусть $$x$$ - длина свешивающейся части. Тогда момент, создаваемый грузом, равен $$2L \rho g x$$. Момент, создаваемый оставшейся частью линейки, равен $$\rho g (L-x) \frac{L-x}{2}$$. Приравнивая моменты, получаем: $$2L \rho g x = \rho g (L-x) \frac{L-x}{2}$$. Упрощая, имеем $$4Lx = (L-x)^2$$. Подставляя значение $$L = 75\ \text{см}$$, получаем $$300x = (75-x)^2$$, $$300x = 5625 - 150x + x^2$$, $$x^2 - 450x + 5625 = 0$$. Решая квадратное уравнение, находим $$x = \frac{450 \pm \sqrt{450^2 - 4 \cdot 5625}}{2} = \frac{450 \pm \sqrt{202500 - 22500}}{2} = \frac{450 \pm \sqrt{180000}}{2} = \frac{450 \pm 300 \sqrt{2}}{2} = 225 \pm 150 \sqrt{2}$$. Так как $$x$$ должно быть меньше $$L = 75\ \text{см}$$, выбираем меньший корень: $$x = 225 - 150 \sqrt{2} \approx 12.86\ \text{см}$$. Ответ: длина свешивающейся части примерно равна $$\bf{12.86\ \text{см}}$$. 4. Сумма моментов сил относительно точки А равна нулю. Момент силы тяжести стержня: $$m g \frac{L}{2} \cos(\alpha)$$. Момент внешней силы $$F$$: $$F L \sin(\alpha)$$. Уравнение моментов: $$F L \sin(\alpha) = m g \frac{L}{2} \cos(\alpha)$$. Тогда $$F = \frac{m g \cos(\alpha)}{2 \sin(\alpha)} = \frac{m g}{2 \tan(\alpha)}$$. Подставляем значения: $$m = 1\ \text{кг}$$, $$\alpha = 45^\circ$$, $$g = 9.81\ \text{м/с}^2$$. $$F = \frac{1\ \text{кг} \cdot 9.81\ \text{м/с}^2}{2 \cdot \tan(45^\circ)} = \frac{9.81\ \text{Н}}{2 \cdot 1} = 4.905\ \text{Н}$$. Ответ: сила равна $$\bf{4.905\ \text{Н}}$$. 5. К сожалению, без возможности построения рисунка в данном формате, я не могу показать положение центра тяжести построением. Однако, центр тяжести пластинки, показанной на рисунке 74, будет находиться в точке пересечения диагоналей прямоугольника, который можно мысленно вписать в эту пластинку. 6. К сожалению, без возможности построения рисунка в данном формате, я не могу показать положение центра тяжести конструкции. Однако, зная размеры пластинок и их материалы (алюминий и медь), можно определить положение центра тяжести, исходя из соотношения масс и центров масс каждой пластинки.