Укажите верные утверждения: а) Биссектрисы вертикальных углов совпадают. б) Если угол АОВ равен 34°, а угол ВОС равен 27°, то угол АОС равен 61°. в) Могут ли смежные углы быть равными? г) Лучи ОА, ОВ и ОС расположены таким образом, что ∠AOB = 17°, ∠AOC = 34°. В таком случае ОВ биссектриса угла АОС. Найдите угол между часовой и минутной стрелками циферблата в 20 часов 25 минут. Число диагоналей выпуклого многоугольника в 8 раз больше числа его углов. Сколько у него сторон? Два угла имеют общую вершину, причём стороны одного перпендикулярны сторонам другого. Найдите эти углы, если разность их величин равна 80°. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Луч ОЕ проведён таким образом, что ОС является биссектрисой угла АОЕ. Докажите, что биссектриса угла ЕОВ перпендикулярна прямой CD.

1. Укажите верные утверждения:

• а) Биссектрисы вертикальных углов совпадают.

Это утверждение верно, так как вертикальные углы равны, а биссектрисы делят их пополам, следовательно, биссектрисы также совпадают.

• в) Могут ли смежные углы быть равными?

Да, могут. Смежные углы в сумме составляют 180°. Если они равны, то каждый из них равен 90°.

Проверим утверждение б):

Угол AOC должен быть равен сумме углов AOB и BOC, то есть $$34^{\circ} + 27^{\circ} = 61^{\circ}$$. Утверждение б) верно.

Проверим утверждение г):

Если луч OB - биссектриса угла AOC, то угол AOB должен быть равен половине угла AOC, то есть $$34^{\circ} / 2 = 17^{\circ}$$. Утверждение г) верно.

2. Найдите угол между часовой и минутной стрелками циферблата в 20 часов 25 минут.

В 20:25 минутная стрелка находится на цифре 5. Часовая стрелка находится между цифрами 8 и 9. Каждый час на циферблате соответствует углу в 30° (360° / 12 = 30°). В 20:00 часовая стрелка указывает точно на 8. За 25 минут она сдвинется на $$\frac{25}{60}$$ расстояния между 8 и 9.

Расстояние между минутной и часовой стрелкой: 3 полных часа (от 5 до 8) и $$\frac{25}{60}$$ часа. Это равно $$\left(3 + \frac{25}{60}\right)$$.

Угол: $$\left(3 + \frac{25}{60}\right) \cdot 30^{\circ} = \left(3 + \frac{5}{12}\right) \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ} + \frac{150^{\circ}}{12} = 90^{\circ} + 12.5^{\circ} = 102.5^{\circ}$$.

Ответ: 102.5°

3. Число диагоналей выпуклого многоугольника в 8 раз больше числа его углов. Сколько у него сторон?

Число углов в многоугольнике равно числу его сторон, обозначим его за n.

Число диагоналей выпуклого n-угольника определяется формулой: $$D = \frac{n(n-3)}{2}$$.

По условию, число диагоналей в 8 раз больше числа углов, значит: $$\frac{n(n-3)}{2} = 8n$$

Решим уравнение: $$n(n-3) = 16n$$ $$n^2 - 3n = 16n$$ $$n^2 - 19n = 0$$ $$n(n-19) = 0$$

Получаем два решения: n = 0 и n = 19. n = 0 не подходит, так как у многоугольника не может быть 0 сторон. Значит, n = 19.

Ответ: 19 сторон.

4. Два угла имеют общую вершину, причём стороны одного перпендикулярны сторонам другого. Найдите эти углы, если разность их величин равна 80°.

Пусть один угол равен x, тогда другой угол равен x + 80°.

Так как стороны углов перпендикулярны, то эти углы либо равны, либо в сумме составляют 180°. Если углы равны, то разность должна быть равна 0, что не соответствует условию.

Значит, сумма углов равна 180°: $$x + (x + 80^{\circ}) = 180^{\circ}$$ $$2x + 80^{\circ} = 180^{\circ}$$ $$2x = 100^{\circ}$$ $$x = 50^{\circ}$$

Тогда второй угол равен $$50^{\circ} + 80^{\circ} = 130^{\circ}$$.

Ответ: 50° и 130°.

5. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Луч ОЕ проведён таким образом, что ОС является биссектрисой угла АОЕ. Докажите, что биссектриса угла ЕОВ перпендикулярна прямой CD.

Пусть OK - биссектриса угла EOB.

Так как ОС - биссектриса угла AOE, то ∠AOC = ∠COE.

∠AOC + ∠COE + ∠EOB = 180° (так как AOB - прямая).

2∠COE + ∠EOB = 180°.

OK - биссектриса угла EOB, значит ∠EOK = ∠BOK.

∠COE + ∠EOK = ∠COK.

Нужно доказать, что ∠COK = 90°.

Так как 2∠COE + ∠EOB = 180°, то ∠COE + 1/2 ∠EOB = 90°.

Но ∠COE + 1/2 ∠EOB = ∠COE + ∠EOK = ∠COK.

Следовательно, ∠COK = 90°, и OK перпендикулярна CD.