Допустимые значения переменных в выражениях

1)

a) $$ \frac{3}{x-2} $$

Знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, ( x - 2
eq 0 ). Решаем это неравенство:

( x
eq 2 )

Таким образом, допустимые значения: все числа, кроме 2.

б) $$ \frac{x^2}{x+3} $$

Знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, ( x + 3
eq 0 ). Решаем это неравенство:

( x
eq -3 )

Таким образом, допустимые значения: все числа, кроме -3.

2)

a) $$ \frac{y-1}{y^2-4} $$

Знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, ( y^2 - 4
eq 0 ). Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов ( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ):

( (y - 2)(y + 2)
eq 0 )

Отсюда следует, что ( y - 2
eq 0 ) и ( y + 2
eq 0 ). Решаем эти неравенства:

( y
eq 2 ) и ( y
eq -2 )

Таким образом, допустимые значения: все числа, кроме 2 и -2.

б) $$ \frac{y^2-1}{y^2 + 1} $$

Знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, ( y^2 + 1
eq 0 ).

( y^2
eq -1 )

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ( y^2 ) всегда больше или равен нулю. Следовательно, ( y^2 + 1 ) всегда больше нуля, и знаменатель никогда не обращается в нуль.

Таким образом, допустимые значения: все числа.

в) $$ \frac{8}{y-5} + \frac{1}{y} $$

Здесь два знаменателя: ( y - 5 ) и ( y ). Оба не должны быть равны нулю. Следовательно:

( y - 5
eq 0 ) и ( y
eq 0 )

Решаем первое неравенство:

( y
eq 5 )

Таким образом, допустимые значения: все числа, кроме 5 и 0.