Ученику требуется на 12 часов больше времени для производства 240 деталей, чем мастеру для изготовления 480 аналогичных деталей. При этом ученик за час делает на 6 деталей меньше, чем мастер. Определите, сколько деталей в час изготавливает ученик.

Ответ: 4 детали в час

1. Пусть x - количество деталей, которое делает ученик за час.
2. Тогда мастер делает за час (x + 6) деталей.
3. Время, которое тратит ученик на изготовление 240 деталей:\[\frac{240}{x}\] Время, которое тратит мастер на изготовление 480 деталей:\[\frac{480}{x+6}\] Ученику требуется на 12 часов больше времени. Составим уравнение: \[\frac{240}{x} - \frac{480}{x+6} = 12\]
4. Решаем уравнение:
   Показать решение уравнения

   \[\frac{240(x+6) - 480x}{x(x+6)} = 12\] \[\frac{240x + 1440 - 480x}{x^2 + 6x} = 12\] \[\frac{-240x + 1440}{x^2 + 6x} = 12\] \[-240x + 1440 = 12(x^2 + 6x)\] \[-240x + 1440 = 12x^2 + 72x\] \[12x^2 + 312x - 1440 = 0\] Разделим обе части уравнения на 12: \[x^2 + 26x - 120 = 0\] Дискриминант:\[D = 26^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 676 + 480 = 1156 = 34^2\] Корни:\[x_1 = \frac{-26 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \quad x_2 = \frac{-26 - 34}{2} = \frac{-60}{2} = -30\]
5. Так как количество деталей не может быть отрицательным, то подходит только x = 4.
6. Ученик изготавливает 4 детали в час.
7. Мастер делает (4 + 6) = 10 деталей в час. Время, которое тратит ученик на изготовление 240 деталей:\[\frac{240}{4} = 60\] часов. Время, которое тратит мастер на изготовление 480 деталей:\[\frac{480}{10} = 48\] часов. Разница во времени составляет (60 - 48) = 12 часов.

Ответ: 4 детали в час