У филателиста 10 различных марок. Сколькими способами он может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест?

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту интересную задачу по комбинаторике. Задача: У филателиста есть 10 различных марок, и ему нужно наклеить 3 из них на 6 пронумерованных мест. Сколько существует способов это сделать? Решение: Эта задача состоит из двух этапов: 1. Выбор 3 марок из 10. 2. Размещение выбранных 3 марок на 6 пронумерованных местах. Этап 1: Выбор 3 марок из 10 Для выбора 3 марок из 10, мы используем формулу сочетаний, так как порядок выбора марок не важен. Формула сочетаний: $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ где: * (n) - общее количество элементов (в данном случае, 10 марок) * (k) - количество элементов для выбора (в данном случае, 3 марки) * (!) - факториал (например, (5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)) Подставляем значения в формулу: $$C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$$ Таким образом, есть 120 способов выбрать 3 марки из 10. Этап 2: Размещение 3 марок на 6 пронумерованных местах Теперь нам нужно разместить выбранные 3 марки на 6 пронумерованных местах. Здесь важен порядок, так как разные места считаются разными. Для этого используем формулу размещений: $$A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$$ где: * (n) - общее количество мест (в данном случае, 6 мест) * (k) - количество марок для размещения (в данном случае, 3 марки) Подставляем значения в формулу: $$A(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$$ Таким образом, есть 120 способов разместить 3 марки на 6 местах. Общее количество способов Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов выбора марок на количество способов их размещения: $$Общее\ количество\ способов = C(10, 3) \times A(6, 3) = 120 \times 120 = 14400$$ Ответ: Существует 14400 способов наклеить 3 марки из 10 на 6 пронумерованных мест. Развернутый ответ для школьника: Представьте, что у вас есть 10 разных наклеек (марок), и вам нужно выбрать только 3 из них, чтобы приклеить на специальный альбом с 6 пронумерованными местами. Сначала нам нужно узнать, сколькими способами можно выбрать эти 3 наклейки из 10. Это как выбор команды из 10 человек. Затем, когда вы выбрали 3 наклейки, вам нужно решить, в каком порядке их приклеить на 6 мест в альбоме. Например, первая наклейка на первое место, вторая на второе и т.д. Количество способов, которыми вы можете это сделать, нужно умножить на количество способов выбора наклеек. В итоге, перемножив эти два числа, мы получим общее количество способов, которыми можно наклеить 3 марки из 10 на 6 пронумерованных мест. В данном случае, это 14400 способов.