Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 6 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть наименьший угол равен (x) градусов. Тогда наибольший угол равен (6x) градусов. Пусть средний угол равен (y) градусов. Сумма углов, образованных тремя лучами, выходящими из одной точки, равна 360 градусов. Таким образом, имеем уравнение: \[x + y + 6x = 360\] \[7x + y = 360\] \[y = 360 - 7x\] Так как (x), (y) и (6x) - это углы, то они должны быть положительными целыми числами. Также, (x) должен быть наименьшим углом, а (6x) - наибольшим. Следовательно, (x < y < 6x). Из уравнения (y = 360 - 7x) следует, что (360 - 7x > x), что означает (360 > 8x), или (x < 45). Также, (360 - 7x < 6x), что означает (360 < 13x), или (x > \frac{360}{13} \approx 27.69). Таким образом, (x) может принимать целые значения от 28 до 44 включительно. Теперь найдем соответствующие значения для (y): Если (x = 28), то (y = 360 - 7 cdot 28 = 360 - 196 = 164). Если (x = 29), то (y = 360 - 7 cdot 29 = 360 - 203 = 157). Если (x = 30), то (y = 360 - 7 cdot 30 = 360 - 210 = 150). Если (x = 31), то (y = 360 - 7 cdot 31 = 360 - 217 = 143). Если (x = 32), то (y = 360 - 7 cdot 32 = 360 - 224 = 136). Если (x = 33), то (y = 360 - 7 cdot 33 = 360 - 231 = 129). Если (x = 34), то (y = 360 - 7 cdot 34 = 360 - 238 = 122). Если (x = 35), то (y = 360 - 7 cdot 35 = 360 - 245 = 115). Если (x = 36), то (y = 360 - 7 cdot 36 = 360 - 252 = 108). Если (x = 37), то (y = 360 - 7 cdot 37 = 360 - 259 = 101). Если (x = 38), то (y = 360 - 7 cdot 38 = 360 - 266 = 94). Если (x = 39), то (y = 360 - 7 cdot 39 = 360 - 273 = 87). Если (x = 40), то (y = 360 - 7 cdot 40 = 360 - 280 = 80). Если (x = 41), то (y = 360 - 7 cdot 41 = 360 - 287 = 73). Если (x = 42), то (y = 360 - 7 cdot 42 = 360 - 294 = 66). Если (x = 43), то (y = 360 - 7 cdot 43 = 360 - 301 = 59). Если (x = 44), то (y = 360 - 7 cdot 44 = 360 - 308 = 52). Теперь проверим условие (x < y < 6x) для каждого случая: (28 < 164 < 168) - верно (29 < 157 < 174) - верно (30 < 150 < 180) - верно (31 < 143 < 186) - верно (32 < 136 < 192) - верно (33 < 129 < 198) - верно (34 < 122 < 204) - верно (35 < 115 < 210) - верно (36 < 108 < 216) - верно (37 < 101 < 222) - верно (38 < 94 < 228) - верно (39 < 87 < 234) - верно (40 < 80 < 240) - неверно (41 < 73 < 246) - неверно (42 < 66 < 252) - неверно (43 < 59 < 258) - неверно (44 < 52 < 264) - неверно Итак, условие (x < y < 6x) выполняется для (x) от 28 до 39 включительно. Таким образом, (x) может принимать 12 значений, и соответственно, (y) также может принимать 12 значений. Ответ: 12