4 Треугольники АВС и DEF подобны, стороны АС и DF, BC и EF – сходственные. Найдите периметр треугольника DEF, если АВ = 7 см, ВС = 8 см, АС = 9 см и АВ = 2DE.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

∆ABC ~ ∆DEF, значит, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F и$$\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DE}$$.
Найдем стороны треугольника DEF. Так как $$\frac{AB}{DE} = \frac{2DE}{DE} = 2$$, то $$DE = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5$$
Аналогично рассуждая, получим: $$DF = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5$$, $$FE = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$$.
Откуда $$P_{DEF} = DE + DF + FE = 3.5 + 4.5 + 4 = 12$$
Замечание. Задачу можно решить иначе, если заметить, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению сходственных сторон, то есть $$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}} = \frac{AB}{DE} = 2$$, следовательно, $$P_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (7 + 8 + 9) = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$.
Ответ: $$P_{DEF} = 12$$ см.