135. Точки М и Т лежат по одну сторону от прямой а. Найдите на этой прямой такую точку Р, чтобы сумма отрезков МР + РТ была наименьшей.

Решение: 1) Дополнительное построение: проведём перпендикуляр из точки Т к прямой а и отложим на его продолжении отрезок ОТ₁, такой, что ОТ₁ = ОТ. Соединим отрезком точки М и Т₁. На пересечении отрезка МТ₁ с прямой а отметим точку Р. Докажем, что это искомая точка. 2) \(\triangle TOP = \triangle T_1OP\) (по двум катетам: ОР - общий, ОТ = ОТ₁ - по построению). 3) МР = РТ₁, значит, МР + РТ = РТ₁ + РТ. 4) Сумма отрезков РТ и РТ₁ будет наименьшей, когда точки М, Р, Т₁ лежат на одной прямой. Значит, искомая точка есть точка пересечения отрезка МТ₁ с прямой а.