113 Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой в. Перпендикуляры ММ и PQ, проведённые к прямой в, равны. Точка О - середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠МОР = 105°.

Так как MN и PQ перпендикулярны прямой b и MN = PQ, то MNPQ - прямоугольник. Точка О - середина NQ, следовательно, O - центр прямоугольника. Значит, OM = OP как радиусы описанной окружности прямоугольника. Следовательно, треугольник OMP - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠OMP = ∠OPM.

Так как ∠MOP = 105°, то ∠OMP = ∠OPM = $$\frac{180° - 105°}{2} = \frac{75°}{2} = 37,5°$$.

Так как MN и PQ перпендикулярны прямой b, то ∠MNO = ∠PQN = 90°. Поскольку О - середина NQ, то ON = OQ. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNO. Угол ∠NMO = 90° - ∠NOM.

Так как OM = OP, то треугольник OMP - равнобедренный и ∠OMP = 37.5°. Заметим, что ∠NMO = ∠OMP + ∠NMO.

Теперь выразим ∠NOM: $$\angle NOM = 90° - \angle OMN$$. Мы знаем, что $$\angle OMN = \angle OMP = 37,5°$$, следовательно: $$\angle NOM = 90° - 37,5° = 52,5°$$

Таким образом, ∠NOM = 52,5°.