Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1070 Точка В – середина отрезка АС, длина которого разна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM2+ BM2 + CM2 = 50; б) АМ² + 2BM² + 3CM² = 4.
Ответ:
a) AM²+ BM² + CM² = 50
- Шаг 1: Обозначим координаты точек.
Пусть B – середина отрезка AC, и длина AC = 2. Тогда AB = BC = 1. Введём систему координат так, чтобы B была в начале координат (0; 0), тогда A имеет координаты (-1; 0), а C имеет координаты (1; 0). Пусть M имеет координаты (x; y).
- Шаг 2: Запишем выражения для квадратов расстояний.
\[AM^2 = (x + 1)^2 + y^2\] \[BM^2 = x^2 + y^2\] \[CM^2 = (x - 1)^2 + y^2\]
- Шаг 3: Подставим в уравнение и упростим.
\[(x + 1)^2 + y^2 + x^2 + y^2 + (x - 1)^2 + y^2 = 50\] \[(x^2 + 2x + 1) + y^2 + x^2 + y^2 + (x^2 - 2x + 1) + y^2 = 50\] \[3x^2 + 3y^2 + 2 = 50\] \[3x^2 + 3y^2 = 48\] \[x^2 + y^2 = 16\]
- Шаг 4: Определим множество точек.
Полученное уравнение x² + y² = 16 является уравнением окружности с центром в точке B(0; 0) и радиусом R = 4.
Ответ: Множество точек M образует окружность с центром в точке B и радиусом 4.
б) АМ² + 2BM² + 3CM² = 4
- Шаг 1: Используем те же координаты точек.
A(-1; 0), B(0; 0), C(1; 0), M(x; y)
- Шаг 2: Запишем квадраты расстояний.
\[AM^2 = (x + 1)^2 + y^2\] \[BM^2 = x^2 + y^2\] \[CM^2 = (x - 1)^2 + y^2\]
- Шаг 3: Подставим в уравнение и упростим.
\[(x + 1)^2 + y^2 + 2(x^2 + y^2) + 3(x - 1)^2 + 3y^2 = 4\] \[(x^2 + 2x + 1) + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3(x^2 - 2x + 1) + 3y^2 = 4\] \[x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 - 6x + 3 + 3y^2 = 4\] \[6x^2 - 4x + 6y^2 + 4 = 4\] \[6x^2 - 4x + 6y^2 = 0\] \[3x^2 - 2x + 3y^2 = 0\]
- Шаг 4: Преобразуем уравнение к каноническому виду.
\[3\left(x^2 - \frac{2}{3}x\right) + 3y^2 = 0\] \[3\left(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) - \frac{1}{3} + 3y^2 = 0\] \[3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}\] \[\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9}\]
- Шаг 5: Определим множество точек.
Полученное уравнение \[\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9}\] является уравнением окружности с центром в точке (1/3; 0) и радиусом R = 1/3.
Ответ: Множество точек M образует окружность с центром в точке (1/3; 0) и радиусом 1/3.
Похожие
