1071 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ² + ВМ² = k², где к – данное число.

• Шаг 1: Введём координаты.

Пусть точки A и B заданы, и пусть A имеет координаты (0; 0), а B имеет координаты (a; 0). Точка M имеет координаты (x; y).

• Шаг 2: Запишем выражения для квадратов расстояний.

\[AM^2 = x^2 + y^2\] \[BM^2 = (x - a)^2 + y^2\]

• Шаг 3: Подставим в уравнение и упростим.

\[x^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = k^2\] \[x^2 + y^2 + x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = k^2\] \[2x^2 - 2ax + 2y^2 = k^2 - a^2\] \[x^2 - ax + y^2 = \frac{k^2 - a^2}{2}\]

• Шаг 4: Преобразуем уравнение к каноническому виду.

\[x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 = \frac{k^2 - a^2}{2} + \frac{a^2}{4}\] \[\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 - 2a^2 + a^2}{4}\] \[\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 - a^2}{4}\]

• Шаг 5: Анализ результата.

Полученное уравнение является уравнением окружности с центром в точке (a/2; 0) и радиусом \[R = \sqrt{\frac{2k^2 - a^2}{4}} = \frac{\sqrt{2k^2 - a^2}}{2}\]

• Шаг 6: Условие существования окружности.

Для того чтобы окружность существовала, необходимо, чтобы радиус был положительным, то есть \[2k^2 - a^2 > 0\] \[2k^2 > a^2\] \[k^2 > \frac{a^2}{2}\] \[k > \frac{a}{\sqrt{2}}\]

Ответ: Множество точек M образует окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом \[\frac{\sqrt{2k^2 - a^2}}{2}\] при условии \[k > \frac{a}{\sqrt{2}}\]