392. Точка О является центром окружности (рис. 364), ∠ABC = 116°. Найдите ∠CAD.

• Угол \(\angle ABC = 116^{\circ}\) - вписанный, следовательно, дуга \(AC\), на которую он опирается, равна удвоенному углу \(ABC\):

\[дуга \, AC = 2 \cdot 116^{\circ} = 232^{\circ}\]

• Тогда меньшая дуга \(AC\) равна:

\[360^{\circ} - 232^{\circ} = 128^{\circ}\]

• Угол \(\angle AOC\) – центральный и опирается на меньшую дугу \(AC\), следовательно:

\[\angle AOC = 128^{\circ}\]

• \(AO = OC\) как радиусы, следовательно, \(\triangle AOC\) – равнобедренный, и углы при основании равны:

\[\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - 128^{\circ}}{2} = \frac{52^{\circ}}{2} = 26^{\circ}\]

• Угол \(\angle CAD\) – вписанный и опирается на дугу \(CD\). Дуга \(CD\) равна половине дуги \(AD\). Угол \(\angle AOC\) опирается на дугу \(AC\), следовательно: