Точка К — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что плошать треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Докажем, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Обозначим основания трапеции AB = a, CD = b, высоту трапеции h.

Площадь трапеции равна: $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} \cdot h$$.

Проведем высоту KE к основанию AB. Тогда KE = h/2, так как K - середина CD.

Тогда площадь треугольника ABK равна: $$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot KE = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$$.

Площадь треугольника AKD равна: $$S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_1$$

Площадь треугольника BCK равна: $$S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$$

Площадь треугольника CD равен нулю, так как $$S_{CKD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot h = \frac{bh}{4}$$.

Следовательно площадь треугольника ABK равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано