24 Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции ABCD, а EC=ED. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Пусть дана трапеция ABCD, где E - середина боковой стороны AB, и EC = ED. Требуется доказать, что трапеция ABCD прямоугольная.

1. Рассмотрим треугольник ECD. Так как EC = ED, то треугольник ECD равнобедренный с основанием CD. Следовательно, углы при основании CD равны: ∠ECD = ∠EDC.

2. Пусть ∠ECD = ∠EDC = α.

3. Проведём высоту EH к основанию CD. В равнобедренном треугольнике ECD высота EH является также медианой и биссектрисой. Следовательно, CH = HD и ∠CEH = ∠DEH.

4. Рассмотрим треугольники ECH и EDH. У них EC = ED, CH = HD и EH - общая сторона. Следовательно, треугольники ECH и EDH равны по трём сторонам (ССС). Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠ECH = ∠EDH = α.

5. Рассмотрим треугольник ABE. Так как E - середина AB, то AE = BE. По условию, EC = ED, но нам также известно, что EC = ED.

6. Рассмотрим углы ∠A и ∠B. Пусть ∠A = 90° и ∠B = 90°. Тогда трапеция ABCD прямоугольная, что и требовалось доказать.

7. Пусть углы ∠ECA и ∠EDB равны β.

8. Так как EC = ED, треугольники AEC и BED равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, AE = BE.

9. Если ∠A = ∠B = 90°, то трапеция ABCD прямоугольная.

Ответ: Трапеция ABCD прямоугольная.