25 Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника АВСD равноудалена от всех его вершин. Найдите ВС, если AD = 10, а углы С и D четырёхугольника равны соответственно 110° и 65°.

Пусть M - середина стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD, и MA = MB = MC = MD. Также дано, что AD = 10, ∠C = 110° и ∠D = 65°.

Поскольку MA = MB = MD, точка M является центром окружности, описанной около треугольника ABD, и AD - диаметр этой окружности. Следовательно, ∠ABD = 90° как угол, опирающийся на диаметр.

Аналогично, поскольку MA = MC = MD, точка M является центром окружности, описанной около треугольника ACD, и AD - диаметр этой окружности. Следовательно, ∠ACD = 90° как угол, опирающийся на диаметр.

В четырехугольнике ABCD сумма углов равна 360°. Тогда ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

∠A = ∠BAD и ∠B = ∠ABC, ∠C = 110°, ∠D = 65°.

Поскольку M - середина AD и MA = MB = MC = MD, то треугольники ABM и CDM - равнобедренные.

Также ∠BAD = 180 - (∠ABD + ∠ACD) = 180 - (90 + 90) = 180 - (110 + 65) = 185. Так как сумма углов в четырехугольнике 360, то

Рассмотрим треугольник AMD. Он равнобедренный (AM=MD), следовательно углы при основании равны. В треугольнике CMD MC=MD следовательно углы при основании CD равны. Угол CMD = 180-65-65 = 50.

Так как MA = MB = MC = MD, то точка M - центр окружности, проходящей через все вершины четырехугольника ABCD. Тогда AD - диаметр этой окружности, и AD = 10, значит радиус окружности равен 5.

Так как MB = MC = 5, то треугольник MBC - равнобедренный.

∠BMC = 360 - 2*(90 - 65) -2*(90-110) = 360 - 2*25 -2*(-20) = 360-50+40=350.

Следовательно BC = 5.

Ответ: BC = 5