5. Через вершину В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (AC = BC) проведена прямая ВМ, перпендикулярная плоскости треугольника. Известно, что АВ = BC = 3 см, ВМ = 6 см. Найдите угол между прямыми СВ и АМ.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC (AC = BC) AB = BC = 3 см. BM перпендикулярна плоскости треугольника ABC, BM = 6 см. Нужно найти угол между прямыми CB и AM.

Так как ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник, то угол ACB = 90 градусов. Тогда по теореме Пифагора,

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ см.

В прямоугольном треугольнике ABM,

$$AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ см.

В прямоугольном треугольнике CBM,

$$CM = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ см.

Рассмотрим треугольник AMC. AM = CM. По теореме косинусов,

$$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 * AM * CM * cos(\angle AMC)$$

$$(3\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 - 2 * 3\sqrt{5} * 3\sqrt{5} * cos(\angle AMC)$$

$$18 = 45 + 45 - 2 * 9 * 5 * cos(\angle AMC)$$

$$18 = 90 - 90 * cos(\angle AMC)$$

$$90 * cos(\angle AMC) = 90 - 18 = 72$$

$$cos(\angle AMC) = \frac{72}{90} = \frac{4}{5} = 0.8$$

Рассмотрим векторы CB и AM. Пусть угол между ними равен α.

По определению скалярного произведения, $$\vec{CB} \cdot \vec{AM} = |CB| \cdot |AM| \cdot cos(\alpha)$$

Пусть A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 0), M(0, 3, 6)

$$\vec{CB} = (0, 3, 0)$$

$$\vec{AM} = (-3, 3, 6)$$

$$\vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0 * (-3) + 3 * 3 + 0 * 6 = 9$$

$$|CB| = 3$$

$$|AM| = 3\sqrt{5}$$

$$3 * 3\sqrt{5} * cos(\alpha) = 9$$

$$9\sqrt{5} * cos(\alpha) = 9$$

$$cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

$$\alpha = arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$$

Ответ: $$arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$$