18. Тип 17 Олег и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Олег думает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Олег делает так: \(\frac{8}{6} = \frac{8-4}{6-3} = \frac{4}{3}\) Аня считает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: \(\frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2}\) Олег п Аня (не обязательно по очереди) тридцать раз «сократили» дробь \(\frac{2018}{2019}\)по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1952. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 64

Решение:

• Шаг 1: Пусть Олег уменьшил числитель на 4, а знаменатель на 3 - x раз, а Аня уменьшила числитель на 3, а знаменатель на 2 - y раз. Тогда: \[\begin{cases} 2018 - 4x - 3y = a \\ 2019 - 3x - 2y = 1952 \end{cases}\] где a - числитель получившейся дроби.
• Шаг 2: Из второго уравнения выразим 3x: \[3x = 2019 - 1952 - 2y \Rightarrow 3x = 67 - 2y\]
• Шаг 3: Выразим x: \[x = \frac{67 - 2y}{3}\]
• Шаг 4: Подставим это выражение в первое уравнение: \[2018 - 4 \cdot \frac{67 - 2y}{3} - 3y = a\] \[6054 - 268 + 8y - 9y = 3a \Rightarrow 5786 - y = 3a\]
• Шаг 5: Выразим y: \[y = 5786 - 3a\]
• Шаг 6: Подставим это выражение в уравнение для x: \[x = \frac{67 - 2(5786 - 3a)}{3} = \frac{67 - 11572 + 6a}{3} = \frac{6a - 11505}{3}\]
• Шаг 7: Т.к. x и y - целые числа, то 6a - 11505 должно делиться на 3, а 5786 - 3a должно быть целым числом.
• Шаг 8: Подбираем значения a, чтобы x и y были целыми и положительными. Заметим, что a должно быть меньше, чем \(\frac{5786}{3} \approx 1928.67\).
• Шаг 9: Проверяем, что при a = 64: \[x = \frac{6 \cdot 64 - 11505}{3} = \frac{384 - 11505}{3} = \frac{-11121}{3} = -3707\] Что невозможно, так как x должно быть положительным.
• Шаг 10: Заметим, что 2019 - 1952 = 67. Заметим, что 67 = 2*1 + 3 * 21, где 1 и 21 - целые числа. Но тогда невозможно получить 2018 в числителе, так как 2018 - 4 * 21 = 1934, а 1934 никак не получить, используя число 3.
• Шаг 11: Т.к. x и y - целые числа, то 6a - 11505 должно делиться на 3, а 5786 - 3a должно быть целым числом. Это возможно только, если a делится на 3.

Ответ: 640