19. Тип 17 № 11040: Трехзначное число сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа.

Решение: Пусть трехзначное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где a, b, c - цифры. Тогда само число можно записать как $$\overline{abc} = 100a + 10b + c$$. Число, записанное в обратном порядке, будет иметь вид $$\overline{cba} = 100c + 10b + a$$. Сумма этих чисел равна 685: $$(100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 685$$ $$101a + 20b + 101c = 685$$ $$101(a + c) + 20b = 685$$ Заметим, что $$101(a + c)$$ должно быть меньше 685, значит, $$(a + c)$$ может быть равно 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Если $$(a + c) = 1$$, то $$101 + 20b = 685$$, откуда $$20b = 584$$, что невозможно, так как 584 не делится на 20. Если $$(a + c) = 2$$, то $$202 + 20b = 685$$, откуда $$20b = 483$$, что невозможно, так как 483 не делится на 20. Если $$(a + c) = 3$$, то $$303 + 20b = 685$$, откуда $$20b = 382$$, что невозможно, так как 382 не делится на 20. Если $$(a + c) = 4$$, то $$404 + 20b = 685$$, откуда $$20b = 281$$, что невозможно, так как 281 не делится на 20. Если $$(a + c) = 5$$, то $$505 + 20b = 685$$, откуда $$20b = 180$$, значит, $$b = 9$$. Если $$(a + c) = 6$$, то $$606 + 20b = 685$$, откуда $$20b = 79$$, что невозможно, так как 79 не делится на 20. Таким образом, $$a + c = 5$$ и $$b = 9$$. Сумма цифр исходного числа равна $$a + b + c = (a + c) + b = 5 + 9 = 14$$. Ответ: 14 Объяснение для школьника: Мы представили трехзначное число в виде выражения с переменными и записали сумму этого числа и числа в обратном порядке. Получили уравнение, которое нужно решить. Перебирая возможные значения суммы первой и последней цифр, мы нашли, что средняя цифра равна 9, а сумма первой и последней цифр равна 5. Значит, сумма всех цифр равна 14.