17. Тип 17 № 8628 Найдите значение выражения \sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}} \cdot \sqrt{6}.

Ответ: 3

\[\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{\frac{(30-5\sqrt{6}) \cdot 6}{4-\sqrt{6}}} = \sqrt{\frac{180 - 30\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}}\]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на 4 + √6:

\[\sqrt{\frac{(180 - 30\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}{(4-\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}} = \sqrt{\frac{720 + 180\sqrt{6} - 120\sqrt{6} - 180}{16-6}} = \sqrt{\frac{540 + 60\sqrt{6}}{10}} = \sqrt{54 + 6\sqrt{6}}\]

Заметим, что 54 + 6√6 можно представить как полный квадрат:

\[54 + 6\sqrt{6} = (3\sqrt{6} + \sqrt{6})^2 = (3 + \sqrt{6})^2\]

Тогда:

\[\sqrt{(3\sqrt{6} + \sqrt{6})^2} = 3\]

Ответ: 3