17 Тип 17 № 169849 i Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, деленную на \frac{\sqrt{3}}{3}.

Пусть высота равностороннего треугольника равна $$h$$, а сторона равна $$a$$. Известно, что $$h = 10$$.

В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с углом 60°.

Тогда:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$10 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$a = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$

Площадь равностороннего треугольника равна:

$$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{20\sqrt{3}}{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{400 \cdot 3}{9} \sqrt{3}}{4} = \frac{400\sqrt{3}}{12} = \frac{100\sqrt{3}}{3}$$

Разделим площадь на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$:

$$\frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{100\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 100$$

Ответ: 100