15 Тип 15 № 323344 i Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты треугольника.

Пусть один из катетов, противолежащий углу 30°, равен $$a$$. Тогда второй катет, прилежащий к углу 30°, равен $$a\sqrt{3}$$. Следовательно,

$$\frac{1}{2} a \cdot a\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$$

Решим уравнение:

$$\frac{1}{2} a^2 \sqrt{3} = 32\sqrt{3}$$ $$a^2 = 64$$ $$a = 8$$

Катет, противолежащий углу 30°, равен 8.

Гипотенузу найдем, зная, что катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

Следовательно, гипотенуза равна:

$$2 \cdot 8 = 16$$

Ответ: 16