20. Тип 20 № 412200 i Сократите дробь $$\frac{45^n}{3^{2n-1} \cdot 5^{n-2}}$$.

Нам нужно сократить дробь: $$\frac{45^n}{3^{2n-1} \cdot 5^{n-2}}$$

Сначала разложим 45 на простые множители: $$45 = 3^2 \cdot 5$$. Тогда $$45^n = (3^2 \cdot 5)^n = 3^{2n} \cdot 5^n$$.

Теперь перепишем исходную дробь с учетом этого разложения: $$\frac{3^{2n} \cdot 5^n}{3^{2n-1} \cdot 5^{n-2}}$$

Разделим степени с одинаковым основанием, вычитая показатели: $$\frac{3^{2n}}{3^{2n-1}} = 3^{2n - (2n-1)} = 3^{2n - 2n + 1} = 3^1 = 3$$

$$\frac{5^n}{5^{n-2}} = 5^{n - (n-2)} = 5^{n - n + 2} = 5^2 = 25$$

Тогда дробь равна $$3 \cdot 25 = 75$$

Ответ: 75