Тип 14 № 394405. Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша – блокнот и 6 карандашей, Вася – блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

Пусть цена блокнота равна x, а цена карандаша равна y. Тогда: Алик заплатил: 2x + 4y Миша заплатил: x + 6y Вася заплатил: x + 3y Так как суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию, то выполняется следующее соотношение: (x + 6y)^2 = (2x + 4y)(x + 3y) Раскроем скобки: x^2 + 12xy + 36y^2 = 2x^2 + 6xy + 4xy + 12y^2 x^2 + 12xy + 36y^2 = 2x^2 + 10xy + 12y^2 Перенесем все в правую часть: 0 = x^2 - 2xy - 24y^2 Разложим квадратный трехчлен: 0 = (x - 6y)(x + 4y) Отсюда получаем два возможных решения: x = 6y или x = -4y. Так как цена не может быть отрицательной, то x = 6y. То есть, цена блокнота равна 6 ценам карандаша. Если бы мы знали стоимость карандаша, мы бы могли вычислить стоимость блокнота. Однако, в условии задачи достаточно информации, чтобы ответить на вопрос, не находя конкретную цену карандаша. Заметим, что если цена карандаша `y`, то: Алик заплатил: $$2x+4y = 2(6y)+4y = 16y$$ Миша заплатил: $$x+6y = 6y+6y = 12y$$ Вася заплатил: $$x+3y = 6y+3y = 9y$$ Последовательность 16y, 12y, 9y является геометрической прогрессией, потому что $$\frac{12y}{16y} = \frac{3}{4}$$ и $$\frac{9y}{12y} = \frac{3}{4}$$. Знаменатель прогрессии равен $$\frac{3}{4}$$. Так как в задаче спрашивается, сколько стоит блокнот, то мы нашли соотношение между ценой блокнота и карандаша. Блокнот стоит 6 карандашей, то есть, если цена карандаша известна, то цена блокнота в 6 раз больше. Ответ: Блокнот стоит 6 карандашей (цена в 6 раз больше цены карандаша).