19. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Пусть $$v$$ - скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч). Скорость по течению: $$v + 5$$ км/ч. Скорость против течения: $$v - 5$$ км/ч. Время движения по течению: $$\frac{140}{v + 5}$$ часов. Время движения против течения: $$\frac{140}{v - 5}$$ часов. Общее время в пути, включая стоянку, составляет 32 часа. Тогда уравнение имеет вид: $$\frac{140}{v + 5} + \frac{140}{v - 5} + 11 = 32$$ $$\frac{140}{v + 5} + \frac{140}{v - 5} = 21$$ $$140(v - 5) + 140(v + 5) = 21(v + 5)(v - 5)$$ $$140v - 700 + 140v + 700 = 21(v^2 - 25)$$ $$280v = 21v^2 - 525$$ $$21v^2 - 280v - 525 = 0$$ $$3v^2 - 40v - 75 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 1600 + 900 = 2500$$ Корни уравнения: $$v_1 = \frac{40 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 3} = \frac{40 + 50}{6} = \frac{90}{6} = 15$$ $$v_2 = \frac{40 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 3} = \frac{40 - 50}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 15$$ км/ч. Ответ: 15 км/ч