Теплоход по течению реки прошел 330 км за 12 ч, а против течения 240,5 км он прошел за 13 ч. Какова собственная скорость теплохода и скорость течения реки?

Решение:

Пусть \( v_тх \) — собственная скорость теплохода (км/ч), а \( v_р \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость теплохода по течению: \( v_{тх} + v_р \).
Скорость теплохода против течения: \( v_{тх} - v_р \).

По условию задачи:

1. Расстояние по течению: \( 330 \) км, время: \( 12 \) ч. Формула: \( S = v · t \).
   Следовательно, \( v_{тх} + v_р = \frac{330}{12} = 27,5 \) км/ч.
2. Расстояние против течения: \( 240,5 \) км, время: \( 13 \) ч.
   Следовательно, \( v_{тх} - v_р = \frac{240,5}{13} = 18,5 \) км/ч.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} v_{тх} + v_р = 27,5 \\ v_{тх} - v_р = 18,5 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения, чтобы найти \( v_{тх} \):

\[ (v_{тх} + v_р) + (v_{тх} - v_р) = 27,5 + 18,5 \]
\[ 2v_{тх} = 46 \]
\[ v_{тх} = \frac{46}{2} = 23 \) км/ч.

Подставим значение \( v_{тх} \) в первое уравнение, чтобы найти \( v_р \):

\[ 23 + v_р = 27,5 \]
\[ v_р = 27,5 - 23 = 4,5 \) км/ч.

Проверка:
По течению: \( 23 + 4,5 = 27,5 \) км/ч. \( 27,5 · 12 = 330 \) км.
Против течения: \( 23 - 4,5 = 18,5 \) км/ч. \( 18,5 · 13 = 240,5 \) км.

Ответ: собственная скорость теплохода составляет 23 км/ч, а скорость течения реки — 4,5 км/ч.