Катер по течению реки прошел 87,5 км за 5 ч, а против течения это же расстояние он прошел за 7 ч. Какова собственная скорость катера и скорость течения реки?

Решение:

Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера (км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость катера по течению: \( v_к + v_т \).
Скорость катера против течения: \( v_к - v_т \).

По условию задачи:

1. Расстояние по течению: \( 87,5 \) км, время: \( 5 \) ч. Формула: \( S = v · t \).
   Следовательно, \( v_к + v_т = \frac{87,5}{5} = 17,5 \) км/ч.
2. Расстояние против течения: \( 87,5 \) км, время: \( 7 \) ч.
   Следовательно, \( v_к - v_т = \frac{87,5}{7} = 12,5 \) км/ч.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} v_к + v_т = 17,5 \\ v_к - v_т = 12,5 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения, чтобы найти \( v_к \):

\[ (v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 17,5 + 12,5 \]
\[ 2v_к = 30 \]
\[ v_к = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч.

Подставим значение \( v_к \) в первое уравнение, чтобы найти \( v_т \):

\[ 15 + v_т = 17,5 \]
\[ v_т = 17,5 - 15 = 2,5 \) км/ч.

Проверка:
По течению: \( 15 + 2,5 = 17,5 \) км/ч. \( 17,5 · 5 = 87,5 \) км.
Против течения: \( 15 - 2,5 = 12,5 \) км/ч. \( 12,5 · 7 = 87,5 \) км.

Ответ: собственная скорость катера составляет 15 км/ч, а скорость течения реки — 2,5 км/ч.