8. Тело сферической формы с полостью внутри плавает в жидкости, погрузившись в нее на одну треть своего объёма. Рассчитай, какую часть объёма шара занимает в нем полость, если плотность шара в 7 раз больше плотности жидкости. (Ответ залиши в виде дроби.)

Шаг 1: Запишем условие плавания тела.

• Сила тяжести равна силе Архимеда:

\[mg = F_A\] Шаг 2: Распишем массу тела и силу Архимеда через плотности и объемы.

• Масса тела: \(m = \rho_{ср} V_{шара}\), где \(\rho_{ср}\) - средняя плотность шара, \(V_{шара}\) - полный объем шара.
• Сила Архимеда: \(F_A = \rho_{жид} g V_{погруженной части}\), где \(\rho_{жид}\) - плотность жидкости, \(V_{погруженной части} = \frac{1}{3} V_{шара}\) - объем погруженной части шара.

Шаг 3: Подставим выражения в условие плавания: \[\rho_{ср} V_{шара} g = \rho_{жид} g \frac{1}{3} V_{шара}\] Разделим обе части на \(g V_{шара}\): \[\rho_{ср} = \frac{1}{3} \rho_{жид}\] Шаг 4: Выразим среднюю плотность шара через плотность материала и объем полости.

• Пусть \(V_{мат}\) - объем материала шара, \(V_{полости}\) - объем полости. Тогда:

\[V_{шара} = V_{мат} + V_{полости}\] И средняя плотность: \[\rho_{ср} = \frac{m_{мат}}{V_{шара}} = \frac{\rho_{мат} V_{мат}}{V_{шара}}\] где \(\rho_{мат} = 7 \rho_{жид}\) - плотность материала шара. Шаг 5: Подставим выражение для средней плотности в уравнение: \[\frac{\rho_{мат} V_{мат}}{V_{шара}} = \frac{1}{3} \rho_{жид}\] Умножим обе части на \(V_{шара}\): \[\rho_{мат} V_{мат} = \frac{1}{3} \rho_{жид} V_{шара}\] Шаг 6: Выразим отношение объемов \(\frac{V_{полости}}{V_{шара}}\) через известные параметры.

• Заменим \(\rho_{мат}\) на \(7 \rho_{жид}\):

\[7 \rho_{жид} V_{мат} = \frac{1}{3} \rho_{жид} V_{шара}\] Разделим обе части на \(\rho_{жид}\): \[7 V_{мат} = \frac{1}{3} V_{шара}\] \[V_{мат} = \frac{1}{21} V_{шара}\] Шаг 7: Найдем объем полости: \[V_{полости} = V_{шара} - V_{мат} = V_{шара} - \frac{1}{21} V_{шара} = \frac{20}{21} V_{шара}\] Шаг 8: Вычислим отношение объема полости к объему шара: \[\frac{V_{полости}}{V_{шара}} = \frac{20}{21}\]