Тело массой m = 2 кг начинает скользить без начальной скорости с вершины наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 3 м, а длина её основания l = 4 м. Коэффициент трения тела о плоскость μ = 0.25. Найти: ускорение тела а и время его движения t.

Дано:

\( m = 2 \) кг

\( h = 3 \) м

\( l = 4 \) м

\( \mu = 0.25 \)

\( v_0 = 0 \) м/с

Найти:

\( a \) — ?

\( t \) — ?

Решение:

1. Найдем угол наклона плоскости \( \alpha \):

\( \sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{3}{4} \)

\( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \)

2. Составим второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости:

\( m a = m g \sin \alpha - F_{тр} \)

Сила трения: \( F_{тр} = \mu N \)

Нормальная сила: \( N = m g \cos \alpha \)

\( m a = m g \sin \alpha - \mu m g \cos \alpha \)

Ускорение: \( a = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) \)

Подставим значения: \( a = 9.8 \text{ м/с}^2 (\frac{3}{4} - 0.25 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}) \approx 9.8 (0.75 - 0.25 \cdot 0.661) \approx 9.8 (0.75 - 0.165) \approx 9.8 \cdot 0.585 \approx 5.73 \) м/с².

3. Найдем время движения по формуле:

\( l = v_0 t + \frac{a t^2}{2} \)

Так как \( v_0 = 0 \), то \( l = \frac{a t^2}{2} \).

\( t^2 = \frac{2l}{a} \)

\( t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \text{ м}}{5.73 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{8}{5.73}} \approx \sqrt{1.4} \approx 1.18 \) с.

Ответ: \( a \approx 5.73 \) м/с², \( t \approx 1.18 \) с.