Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство).

Свойства параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Основные свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
   • Доказательство: Проведём диагональ \( AC \). Треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): \( AC \) — общая сторона, \( \angle BAC = \angle DCA \) и \( \angle BCA = \angle DAC \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( AB \parallel CD \) и \( BC \parallel AD \) и секущей \( AC \). Следовательно, \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
2. Противоположные углы равны: \( \angle A = \angle C \) и \( \angle B = \angle D \).
   • Доказательство: Из равенства треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \) следует, что \( \angle ABC = \angle CDA \). Углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) равны, как и \( \angle BCA \) и \( \angle CAD \). Угол \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD \) и \( \angle C = \angle BCA + \angle ACD \). Так как \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle BCA = \angle CAD \), то \( \angle A = \angle C \).
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: \( AO = OC \) и \( BO = OD \) (где \( O \) — точка пересечения диагоналей).
   • Доказательство: Рассмотрим треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \). \( AB = CD \) (по свойству 1). \( \angle BAO = \angle DCO \) и \( \angle ABO = \angle CDO \) как накрест лежащие. Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Следовательно, \( AO = OC \) и \( BO = OD \).
4. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°: \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \), \( \angle B + \angle C = 180^{\circ} \) и т.д.
   • Доказательство: Так как \( AD \parallel BC \) и \( AB \) — секущая, то сумма односторонних углов \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \).

Доказательство свойств завершено.